Introduction aux variations en seconde

Bonjour à toutes et à tous.

Avant toute chose, bonne année 2019! Puisse-t-elle être remplie d'élèves attentifs, de joies mathématiques, de découvertes pédagogiques, de réformes un peu plus réfléchies et de copies qui se corrigent toutes seules (roh le rêve).

Pour le premier article de cette nouvelle année, la présentation de deux activités que j'ai réalisé avant les vacances avec ma classe de seconde pour introduire le chapitre sur les variations et les extrema. J'en profite pour y faire les tableaux de signes et les inéquations graphiques au passage.

La première activité est l'une de mes préférés à faire (ce n'est pas pour rien que j'en ai plusieurs du même goût): un sept familles comportant quatre catégories:

• la représentation graphique d'une fonction;
• le tableau de valeur;
• le tableau de signe;
• le tableau de variations.

Comme à chaque fois, la consigne est simple: par groupe de quatre, les élèves doivent trier les cartes de la façon qui leur parait la plus pertinente. La majorité des groupes comprennent assez vite ce qu'ils doivent faire. Pour ceux qui sont vite découragés face à la nouveauté, je leur conseille de commencer par les cartes qu'ils connaissent déjà.

Ils découvrent ainsi les tableaux de variations et les tableaux de signes par eux-mêmes, ce qui me permet d'aller beaucoup plus vite quand je leur explique la méthode pour en dresser un dans le cours. 

Ce travail donne lieu à la rédaction d'un compte rendu que je note sur 5, dont ils doivent tous avoir un exemplaire, et qu'ils collent dans leur cahier de cours.

Il faut compter une heure pour cette activité, puisqu'ils mettent du temps à comprendre le lien entre les courbes et les nouvelles cartes, celle sur le tableau de signe leur posant le plus de difficulté en général. 

En plus de cela, j'ai également testé une activité trouvée sur le très riche site américain nrich pour amener la réflexion sur les variations. 

Les élèves ont huit situations réelles : 

• la température d'une tasse de thé dans le temps,
• la hauteur de la valve d'une roue de vélo quand le vélo avance,
• la hauteur d'une balle de tennis lancée en l'air puis rattrapée,
• la distance parcourue par un parachutiste sautant d'un avion,
• les kilomètres affichés par un compteur de voiture roulant sur une autoroute,
• le rayon d'un ballon que l'on gonfle,
• le volume d'eau restant dans une tasse à mesure qu'on aspire l'eau avec une paille,
• la distance mesurée le long d'un mètre gradué en pouce comparée à celle d'un mètre gradué en centimètres.

Les élèves doivent donner une représentation graphique de chacune de ces situations, en expliquant les arguments qu'ils ont pris en compte. Dans un deuxième temps, je leur donne les vraies courbes et je leur demande de comparer leurs résultats à la réalité.

Malheureusement, j'ai fait cette séance en pleine période de blocage dans mon établissement, ce qui a perturbé le déroulement des séances, et je n'ai pas pu pleinement les confronter à la deuxième partie (seuls deux groupes ont eu le temps de les regarder). 

Toutefois, la première partie est très intéressante en elle-même, et donne lieu à des débats dans les groupes pour l'allure des courbes, les unités à prendre en compte, les valeurs qui peuvent être prises... 

A l'issu de la séance, j'ai ramassé leur travail et j'ai noté l'allure pertinente des courbes, et leurs arguments. Sans surprise, la majorité n'ont pas pris la peine de les lister, ce qui est dommage. J'insisterai davantage sur ce point l'année prochaine.

Il faut idéalement prévoir deux heures pour cette activité si on souhaite que les élèves traitent les huit situations. On peut sinon distribuer réduire le nombre de situation ou en donner une par groupe, puis réaliser une mise en commun (je changerai peut-être le format l'année prochaine).

Voilà pour ces activités, n'hésitez pas à me donner votre avis dans les commentaires!

Liens: 

Sept familles variations word pdf

Activité nrich word pdf

Bonne semaine!

Orlane.

Remédiation équations du premier degré en seconde.

Bonjour à toutes et à tous,

Cette semaine, je vous propose une petite activité d'AP sur le thème des équations du premier degré.
Comme chaque année, une bonne partie de ma classe de seconde me semble démunie face à cet exercice, aussi ai-je essayé de leur proposer une séance de remédiation.

En demi-groupe, j'avais déjà fait une séance autour des Algebra Tiles, qui peuvent être utilisées pour résoudre des équations du premier degré (pour des cas où les solutions sont des valeurs entières). L'avantage des Algebra Tiles est que l'on remet du sens sur les propriétés de manipulation des équations:

• Soustraire/Ajouter une valeur de part et d'autre pour rassembler l'inconnue d'un côté et les termes numériques de l'autre (on ajoute les Tiles rectangulaires ou unité sur la table pour faire des paires rouges et bleues) .
• Diviser par le coefficient devant l'inconnue (on sépare les Tiles en paquets de part et d'autre de l'égalité pour n'avoir plus qu'une Tile rectangulaire rouge égale à un certain nombre de Tiles unité).

Pour cette nouvelle séance, j'ai essayé de mettre en valeur trois formes générales d'équation du premier degré, de réexpliquer ce que signifier le mot "résoudre" en mathématiques, puis j'ai illustré un exemple au tableau en faisant le lien entre les Algebra Tiles et la résolution numérique.

Je leur ai ensuite donné une fiche méthode, fortement inspirée d'une épingle Pinterest afin qu'ils aient, à tout moment, un outils pour les guider dans la procédure de résolution. Pour l'année de seconde, ils savent qu'ils peuvent l'utiliser en contrôle s'ils en ressentent le besoin (tout comme ils ont accès aux Algebra Tiles s'ils le souhaitent).

Le principe est simple: s'ils sont dans la situation décrit sur le rabat, ils le soulèvent pour savoir ce qu'ils doivent faire. Dans ma feuille d'exercices, j'ai prévu un exemple de résolution d'une équation pour laquelle ils doivent préciser quel rabat ils utilisent pour passer d'une ligne à l'autre, afin de bien leur expliquer le fonctionnement de leur fiche méthode.

Une séance s'est toutefois avérée trop courte pour vraiment remédier aux difficultés de certain.es et il me faudra sans doute réitérer l'exercice pour les aider à surmonter leurs difficultés. C'est toutefois un bon début, et je compte renforcer l'apprentissage avec mon Bingo Equations dont je vous parlerai une autre fois.

A très vite (pas trop vite, parce que c'est la saison des conseils de classe dans mon établissement et je risque d'être fortement occupée).

Bon Dimanche!

Activité (avec la fiche méthode): word; pdf.

Huit familles intervalles

Bonjour!

Je sors de mon hibernation ici. J'ai pris un peu de retard avec ma classe de seconde (mes cobayes préférés) donc je n'avais pas grand chose de bien innovant à partager.

Toutefois, j'ai quand même testé une nouvelle activité cette semaine: le Huit Familles version intervalles en guise d'introduction aux huit différentes notations. Comme son cousin sur le second degré, le principe est globalement le même: un paquet de cartes qui regroupe plusieurs façons de représenter des intervalles:

• la description par une phrase de l'ensemble de nombres,
• la notation de l'intervalle
• la représentation graphique
• l'inégalité
• un nombre appartenant à l'intervalle, avec la notation du symbole appartient.

Je procède toujours de la même façon avec ce genre d'activité: je donne le paquet de carte avec pour seule consigne qu'ils doivent trier les cartes de la façon la plus pertinente. 

Il s'agissait de la première fois que je faisais une activité de ce genre avec mes secondes, donc ils ont d'abord essayé de reconstituer les tableaux au dos des cartes (classique) avant de comprendre que ce qui était intéressant était ce qui se trouvait au recto et l'activité était bouclée en 30 minutes.

A la fin, les élèves prennent une photo de leur travail et doivent rédiger un compte rendu par groupe, contenant:

• Les arguments qui leur ont permis d'arriver au tri (en détaillant une famille parmi les 8).
• Les erreurs qu'ils ont fait et comment ils y ont remédié.
• Les questions qu'ils ont encore à la fin de la séance.
• Un bilan de leur travail en groupe.

Je note ce compte rendu sur 5 (2 points de précision mathématiques pour les arguments, et un point pour les erreurs, les questions et le bilan de groupe). Le premier compte-rendu est une note bonus afin qu'ils prennent la mesure de ce qui est attendu, puis les prochains comptent dans la moyenne.

En début de séance suivante, je fais un bilan de l'activité à l'oral, on note la définition d'un intervalle et on remplit ensemble un tableau contenant les huit notations différentes sous forme d'exemples.

Voilà voilà pour cette semaine. J'essaierai de poster quelque chose sur une séance de remédiation sur les équations la semaine prochaine, mais la saison des conseils de classe approche, donc ce n'est pas sûr que j'ai vraiment le temps...

Bon dimanche!

Le jeu de huit familles: word pdf

La fiche de consignes pour l'activité et le compte rendu : word pdf

La production d'un groupe: pdf

Formule de la distance en seconde.

Bonjour!

Cette année, le premier chapitre en seconde porte sur les configurations du plan et j'ai essayé de mettre du sens derrière la formule magique de la distance, qui n'est que Pythagore camouflé.

Pourquoi? Parce que j'ai horreur d'apprendre des formules et que, chaque année, je vois mes élèves se mélanger les pinceaux entre le +, le -, les carrés et la racine.
Aussi parce que je suis fatiguée de voir des nombres négatifs sous une racine carrée sans que cela ne choque mes élèves.
Enfin parce que comprendre une formule permet surtout de mieux l'appliquer.

L'activité est en deux actes: un premier permet de réactiver les acquis (lecture de distance en valeur absolue sur un graphique et théorème de Pythagore), la deuxième incite les élèves à mettre en place leur propre stratégie afin de calculer la longueur d'une lignée brisée.

Mes élèves ont été un peu surpris par le premier acte (parce qu'essentiellement, c'était trop facile) avant de revenir sur leur déclaration quand une simple lecture graphique ne suffisait plus. En passant dans les rangs, j'ai eu l'occasion de retravailler la notion d'inégalité triangulaire, ce qui n'a pas fait de mal à certain.e.s.

Pour le deuxième acte, je pense que 90% de mes élèves ont réussi à mettre au point la bonne stratégie (placer un troisième sommet afin d'avoir un triangle rectangle et pouvoir appliquer Pythagore), avec ou sans coup de pouce de ma part (essentiellement, leur rappeler qu'ils avaient su le faire dans l'acte 1).

Le bilan dans le cours (la preuve et la propriété) est passé comme une lettre à la poste et si certains ont l'air décidé d'apprendre la formule, d'autres préfèrent appliquer Pythagore pour justifier leurs calculs.

Reste à voir si le message va s'imprégner durablement et si les erreurs classiques vont être aussi nombreuses que d'habitude.

A la semaine prochaine!
Lien : l'activité (word et pdf).

Les Algebra Tiles

Bonjour!

Le post de cette semaine est entièrement dédié à ma découverte préférée de l'année dernière, une fois encore un peu par hasard sur Facebook (comme quoi...)

Les Algebra Tiles sont constituées de trois plaques de plastiques: un grand carré, un rectangle et un petit carré, dont les faces sont de deux couleurs (généralement rouge et vert, ou rouge et bleu).

• Le grand carré est de côté x, donc son aire représente x².
• Le rectangle est de largeur 1 et de longueur x, donc son aire représente x.
• Le petit carré est de côté 1, donc son aire représente 1.
• Les faces de couleurs différentes permettent de différencier les signes (personnellement, je choisis rouge pour le positif et bleu pour le négatif, comme sur les thermomètres).

Au final, on a donc un outil qui permet de représenter facilement une expression littérale de degré deux:

A partir de là, on peut facilement additionner et soustraire des expressions polynomiales entre elles (le retrait des parenthèses précédées d'un signe moins devient visuel avec un retournement des tiles pour le changement de signe). Chaque paire rouge et bleu d'une même sorte de tiles faisant 0. Il ne reste plus qu'à compter le nombre de grand carrés, de rectangles et d'unités restants sur la table.

L'intérêt? Rendre un peu plus concret ces histoires de lettres (au collège, on peut se passer du x²) avec une manipulation physique d'un outils et, in fine, permettre aux élèves d'intégrer plus facilement que les x², les x et les nombres ne s'additionnent pas entre eux (un carré et un rectangle sont deux formes différentes).

Sauf que cet outils regorge d'applications qui va au-delà de la simple représentation d'une expression littérale:

• Calcul avec des relatifs.
• Résolution d'équations du premier degré.

• Développement d'expressions de produits à deux facteurs ((3x+1)(x-1) par exemple).
• Factorisation de polynômes du second degré (pour des exemples bien choisis, ça devient un jeu d'enfant).

• Aide à la mise sous forme canonique.

Les vidéos explicatives sur Youtube font légion (en anglais, mais c'est suffisamment visuel pour permettre la compréhension).

Matériellement, des kits existent sur Amazon (une quinzaine d'euros, à multiplier par le nombre d'élèves dans une classe, autant dire que mon gestionnaire m'aurait assassinée), mais elles sont très faciles à réaliser soi-même, pour le peu qu'on ait une plastifieuse ou, à défaut, des feuilles cartonnées rouge et bleu. 

De mon côté, je les ai présentées à mes élèves depuis la rentrée.

• Calcul avec des relatifs pour les 1èreSTMG et les secondes (pour tester l'acquis et les introduire progressivement à l'outils), puis résolution d'équations du premier degré.
• Développer, factoriser et mise sous forme canonique avec les 1èreS.

Ils ont tous été surpris, les 1èreS ont eu du mal à en comprendre l'intérêt (puisque le développement est un acquis solide pour la plupart, ils ont reconnu que c'était quand même pratique pour factoriser, et certains font systématiquement le dessin qui permet de trouver la partie (x-alpha)² de la forme canonique).

Outre le côté ludique, les Algebra Tiles sont un excellent outils pour apprendre à représenter visuellement les mathématiques, et surtout les calculs, ce qui permet une compréhension plus fine de beaucoup de concepts abstraits. 

Je suis convaincue que si cet outils accompagnait l'introduction du calcul littéral au collège, nos élèves auraient des bases bien plus solides dans ce domaine. Une fois qu'on les aide à mettre du sens sur les nouvelles notions, ils les intègrent bien plus facilement.

En lien, la matrice pour imprimer des Algebra Tiles -- pdf et word -- (le recto-verso n'est pas parfait, mais ça fait l'affaire quand même) et tous les TD -- pdf et word -- pour les introduire progressivement à l'outils.

A la semaine prochaine!

Jeu de Six Familles Second Degré

Une de mes activités préférées pour introduire un nouveau chapitre avec mes élèves est un jeu sérieux inspiré du jeu de Sept Familles.

Pour la première séance sur le second degré avec mes 1èreS, j'ai donc sorti celui sur le second degré. Celui-ci est composé de six familles de sept cartes différentes:

• La représentation graphique de la fonction.
• La forme développée.
• La forme canonique.
• La forme factorisée.
• Le tableau de signe.
• La valeur du discriminant.

La mise en place de l'activité est simple: par groupe de quatre, ils doivent trier les cartes de la façon qui leur paraît la plus pertinente.

En général, il ne leur faut pas longtemps pour comprendre la logique de l'exercice et je passe voir les différents groupes pour qu'ils m'expliquent leur raisonnement, de la façon la plus précise possible (aussi bien la méthode de déduction que le vocabulaire qu'ils utilisent). 

Pour cette séance, plusieurs stratégies sont ressorties:

• Le calcul de quelques images pour associer la forme développée au graphique.
• Le développement des formes factorisées et canoniques.
• L'utilisation de la calculatrice pour associer une des trois écritures au graphique (tableur et représentation graphique).

Comme il s'agissait de la première séance sur le sujet après deux mois de vacances, très peu se sont souvenus qu'ils pouvaient utiliser la forme canonique pour trouver plus facilement la représentation graphique, ou encore que le coefficient "a" permet de décider quel sens de variation est le plus pertinent.

Toutefois, c'est aussi l'intérêt de mettre ce genre de travail en début de chapitre. Cela me permet de mesurer les différents acquis (j'ai pu repérer ceux qui étaient moins à l'aise avec le calcul littéral) et de titiller leur curiosité (ils ont été voir sur internet ce que signifiait "delta" pour le second degré, et les factorisations complexes n'ont pas manqué de les intriguer).

Lorsque j'ai testé cette activité l'année dernière avec mes 1èreES, le jeu n'était pas plastifié et j'avais donc demandé à mes élèves de coller une famille complète dans leur cahier de cours (ce qui sous-entend donc que je devais imprimer et redécouper les kits à chaque fois). Cette fois, je leur ai demandé de prendre leur travail final en photo et de me rédiger un compte rendu, contenant:

• Les photos.
• Leurs arguments pour le tri des cartes (en prenant une des six familles en exemple).
• Les erreurs qu'ils avaient commis et comment ils y avaient remédié.
• Les questions qu'ils avaient encore.
• Un bilan sur leur fonctionnement en groupe et les améliorations à apporter.

Je compte réutiliser ce jeu avec mes 1èreSTMG et mes secondes (en enlevant les cartes formes factorisées et en rajoutant les tableaux de variations). Une autre extension est possible pour le niveau première : les fonctions dérivées et leur tableau de signe, en introduction aux applications de la dérivée.

La prochaine fois, je vais vous expliquer pourquoi vous avez besoin des Algebra Tiles, même au lycée!

Document Word
Document Pdf

Bienvenue!

Merci d'être venu.es jusqu'ici!

Je me suis enfin décidée à tenir compte de mes petites expériences avec mes élèves, en espérant donner envie à d'autres collègues de se lancer dans l'aventure à leur tour.

Nous sommes tous face au même constat dans nos classes: il est de plus en plus difficile de mettre les élèves au travail, encore plus compliqué de les mesurer à des tâches complexes, sans parler du désamour des mathématiques -- qui risque de nous être fatal puisque nous allons devenir non moins qu'une option --.

Je reste toutefois convaincue que le problème ne vient pas que des élèves, et qu'il faut peut-être tenter autre chose. C'est pour cette raison que j'ai commencé à errer sur la blogosphère anglo-saxonne.

Enfin, ce n'est pas tout à fait vrai. Je crois que c'est la blogosphère anglo-saxonne qui m'est tombée dessus un peu sans prévenir. J'avais vu sur pinterest une cocotte en papier spéciale statistiques -- une aubaine pour dynamiser l'un des chapitres que j'aime le moins enseigner en 2nde -- et je suis remontée jusqu'au blog à l'origine de l'épingle...

Deux mois plus tard, j'avais testé la cocotte sur mes élèves de seconde (un succès pour l'activité en elle-même, je suis plus mesurée sur ce qu'ils en ont retenu), j'avais acheté et lu le livre Mathematical Mindset de Jo Boaler (aka mon grand gourou, je reviendrai dessus plus en détails) et j'étais décidée à changer complètement ma façon d'enseigner au plus vite.

Je doute de réussir un total makeover en un an, mais je vais m'efforcer de suivre plusieurs principes de base:

• Du travail de groupe, le plus possible (j'ai une salle en îlots cette année et je re-vis).
• De l'inductif, parce que les élèves comprennent et retiennent tellement mieux quand ça vient d'eux.
• Des problèmes ouverts, parce que les exercices guidés ne font pas de nos élèves des mathématiciens, mais des singes savants.
• Des jeux (oui, c'est possible au lycée, et plus que ce que j'aurais pu penser).
• De la manipulation, parce que l'abstrait est l'un des plus gros obstacles pour nos élèves.

Enfin, nous avons ouvert une classe mutuelle en première S dans mon établissement et je parlerai sûrement de ma façon de fonctionner en mathématiques quand j'aurai pris mes marques.

A très vite!

Mme Saillant.